Se pretende estudiar la cinética de la reacción observando los cambios en la presión del reactor. Aprovechando estas ventajas, e intentando dar un nuevo final a estos residuos, un equipo de investigadores de la Escuela Técnica Superior de Edificación de la UPM y de la Universidad de Coimbra (Portugal) propone una alternativa con un menor impacto ambiental que, además, ayude a llevar a cabo un proceso edificatorio más sostenible y eficiente: la incorporación de estos residuos en materiales de construcción. WebA pesar de ello es conveniente y útil definir lo que llamamos un gas ideal que obedece a ciertas leyes fáciles de expresar mediante ecuaciones simples. Las desviaciones del comportamiento ideal del gas se … Hay un gran número de ecuaciones que pueden describir cómo actúan los gases reales, pero para hacerlo simple, los químicos se adhieren a la ecuación Van der Waals porque es la más fácil de describir cómo actúan los gases: P es la presión en atmósferas (atm) V es el volumen en litros (L) n es el número de moles(mol) a  es solo una constante de proporcionalidad b también es una constante de proporcionalidad. ACTIVIDADES DE DESARROLLO TEMÁTICO. Gas ideal: es el comportamiento que presentan aquellos gases cuyas moléculas no interactúan entre si y se mueven aleatoriamente. Estas fuerzas se vuelven particularmente importantes para los gases a bajas temperaturas y altas presiones, donde las distancias intermoleculares son más cortas. Aunque la unidad SI para la constante de los gases tiene un valor de 8,3145 J·mol-1·K-1. Amante y aprendiz de las letras. Así, a presiones muy altas, el valor medido experimentalmente de PV/nRT es mayor que el valor predicho por la ley de gas ideal. Luego, se puede calcular el volumen del gas: Midiendo V puede determinarse el rendimiento o avance de dicha reacción. esto sucede cuando el gas esta sometido a bajas presiones y altas temperaturas. Si se conoce la densidad de un gas a una temperatura y presión determinada, calcular su volumen molar será relativamente fácil. Licenciado en química de la Universidad de Carabobo. Calcular su presión a dos cifras significativas a 27°C usando el. Con base en el valor obtenido, prediga si es probable que el cilindro sea seguro contra la ruptura repentina. La licuefacción de gases es la condensación de gases en forma líquida, lo que no se anticipa ni explica por la teoría molecular cinética de los gases. Química. 3-Explicar cómo influyen las variables de temperatura, presión y volumen en el comportamiento de los gases ideales. ¿Por qué? Esta presión está dentro de los límites de seguridad del cilindro. Es posible distinguir entre un gas ideal y un gas real, de acuerdo a los principios que … INTRODUCCIÓN.En un reactor químico a volumen constante, el producto es un gas. (2019). El término de presión en Ecuación\(\ref{10.9.1}\) corrige las fuerzas de atracción intermoleculares que tienden a reducir la presión de la predicha por la ley de gas ideal. Un gas ideal es un gas teórico, compuesto por partículas puntuales o esféricas que se mueven al azar; con gran energía cinética, donde la única interacción entre ellas son los … Legal. Los campos obligatorios están marcados con *. Hipótesis: Volúmenes iguales de gases a la misma presión y temperatura poseen el mismo numero de moléculas. Aunque se acerca a un número pequeño, no será cero porque las moléculas ocupan espacio (es decir, tienen volumen) y no pueden ser comprimidas. Manuel Álvarez, investigador de la UPM que ha formado parte del equipo de trabajo, «nuestro trabajo se enmarca en el contexto de los objetivos 11 y 12 −Ciudades y comunidades sostenibles y Producción y consumo responsables– y creemos que hemos logrado importantes resultados para llevar a cabo un proceso edificatorio más sostenible y eficiente que, sin duda, puede ayudar al cumplimiento de esos ODS». Se deduce suponiendo que ocurren dos transformaciones: Primera transformación: En primer lugar pasando … La ley de los gases ideales es una de las leyes de los gases y representa la ecuación de estado de un gas ideal . V *. WebA esta constante se define como la constante de los gases ideales y se indica con la letra R. K mol l atm 0.08205 R La combinación de estas leyes proporciona la ley de los gases ideales, también llamada ecuación de estado del gas ideal: T R n V. P Donde “n” es el número de moles (n = m/MW). Usted está a cargo de la fabricación de cilindros de gas comprimido en una pequeña empresa. Un alejamiento del valor de 1 para el factor de compresión, indica que el comportamiento del gas se aleja del mostrado por un gas ideal. Es fácil decir que los gases se vuelven menos ideales a bajas temperaturas, pero lo que cuenta como baja temperatura varía de un gas a otro. La licuefacción de gas se utiliza a escala masiva para separar O 2, N 2, Ar, Ne, Kr y Xe. Los gases perfectos obedecen a tres leyes bastante simples, que son la Ley de En condiciones normales y en condiciones estándar, la mayoría de los gases presentan comportamiento de gases ideales. Por ejemplo: Con una presión 1 atm a 273 K, la densidad del helio es de 0,1785 g/L . A presión constante los volúmenes son aditivos (volúmenes se suman). Mientras n es el número de moles, R la constante universal de los gases, y T la temperatura expresada en Kelvin (K). En concreto, se ha añadido un polímero súper absorbente y neumático fuera de uso en tres formas diferentes, una en forma de material textil y dos en tamaños diferentes de granulado. Las desviaciones del … Solamente hace falta calcular la masa molar dividiendo los gramos entre los moles obtenidos: Masa molar = gramos del compuesto / número de moles. Los gráficos de abajo muestran cómo varía esto para el nitrógeno a medida que usted cambia la temperatura y la presión. Colegio San Nicolás - Canal Chacao 2 • Existen tres variables principales que influyen en el comportamiento de un gas: el volumen, la temperatura y la presión. Figura 8.6. Web3. En la imagen (A) la teoría cinética asume que todo este espacio está disponible para que las moléculas se muevan dentro. Recuperado de: en.wikipedia.org, Equipo Editorial. Leyes de los Gases. Ley de Boyle. Los gases se forman cuando la energía de un sistema excede todas las fuerzas de atracción entre moléculas. A medida que agregamos gas a un globo, éste se expande, por lo tanto el volumen de un gas depende no sólo de la presión y la temperatura, sino también de la cantidad de gas. Estas fuerzas se vuelven cada vez mas importantes en temperaturas bajas, donde el movimiento traslacional de las moléculas disminuye, casi hasta detenerse. Debe haber al menos un efecto que haga que la relación PV / nRT sea demasiado baja, especialmente a bajas temperaturas. Ese gas está compuesto de partículas que son puntuales sin los efectos electromagnéticos. La aplicación de la Agenda 2030 fomenta la investigación de nuevos materiales para un sector de la construcción más sostenible. Ira N. Levine. Los resultados del gas cuántico de Boltzmann son utilizados en varios casos incluidos la ecuación de Sackur-Tetrode de la entropía de un gas ideal y la ecuación de ionización de Saha para un plasma ionizado … Esta ley permite estudiar sistemas gaseosos reales comparándolos con sus versiones idealizadas. H Por ejemplo, bajo condiciones cuidadosamente controladas, las temperaturas muy frías que brindan los gases licuados como el nitrógeno (punto de ebullición = 77 K a 1 atm) pueden preservar materiales biológicos, como el semen para la inseminación artificial de vacas y otros animales de granja. Los campos obligatorios están marcados con *. Definición de gas: El estado gaseoso de la materia es un tipo de fluido, donde sus moléculas están muy separadas unas de otras, es el estado de la materia mas denso. ¿Se manifiesta el mismo comportamiento con otros gases? El lado derecho de la ecuación es exactamente el mismo que la ecuación de gas ideal. Bajo estas condiciones, los dos supuestos básicos detrás de la ley de gas ideal, a saber, que las moléculas de gas tienen un volumen insignificante y que las interacciones intermoleculares son insignificantes, ya no son válidas. Fuente: Pxhere. A temperaturas más altas, donde las moléculas se mueven mucho más rápido, cualquier pequeño retroceso de la molécula hacia el centro del gas apenas se notará. Por otro lado, cuando un volumen de un gas se comprime, la presión del gas aumenta. El aire caliente que está dentro del globo es menos denso que el aire frío del entorno, a la misma presión, la diferencia de densidad hace que el globo ascienda. Se le considera como un gas, pero hipotético. Esta página se editó por última vez el 4 jul 2022 a las 13:26. Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Ciencia, Educación, Cultura y Estilo de Vida. La ley de los gases ideales es una composición de tres leyes de los gases: la ley de Boyle y Mariotte, la ley de Charles y Gay-Lussac, y la ley de Avogadro. Ley de los gases ideales: fórmula y unidades, aplicaciones, ejemplos. WebCOMPORTAMIENTO PVT DE LOS GASES IDEALES 1. El problema se resuelve mediante el  uso de la ecuación de los gases ideales. Por lo tanto, se cometería un error al aplicar la ecuación de los gases ideales a un gas que no se comporta de acuerdo al modelo. Finalmente, se alcanza un punto donde las moléculas ya no pueden superar las fuerzas de atracción intermoleculares, y el gas se licua (se condensa en un líquido). Supongamos que a una presión elevada el volumen del recipiente es 1000 cm3 , pero suponiendo que las moléculas ocupen hasta 100 cm3 de él. Glasstone. WebPor lo tanto, el comportamiento ideal del gas se indica cuando esta relación es igual a 1, y cualquier desviación de 1 es una indicación de comportamiento no ideal. El problema del volumen: La teoría cinética supone que, para un gas ideal, el volumen ocupado por las propias moléculas es totalmente insignificante en comparación con el volumen del recipiente. The LibreTexts libraries are Powered by NICE CXone Expert and are supported by the Department of Education Open Textbook Pilot Project, the UC Davis Office of the Provost, the UC Davis Library, the California State University Affordable Learning Solutions Program, and Merlot. Por lo tanto esto sucede cuando el gas esta sometido a bajas presiones y altas temperaturas. Si el cloro se comporta como un gas ideal, ¡tienes un problema real! Debido a que la distancia promedio entre moléculas disminuye, la presión ejercida por el gas sobre la pared del recipiente disminuye, y la presión observada es menor de lo esperado (Figura\(\PageIndex{4}\)). La figura 8.6. En este video, examinaremos las condiciones bajo las que los gases reales son más propensos a desviarse del comportamiento ideal: bajas temperaturas y presiones altas (volúmenes … La expresión más usada en los gases para R equivale a 0,08206 L·atm·K-1·mol-1. PROPÓSITOS (LOGROS): Comprende las características de los gases y el funcionamiento de la ley de Boyle (GAS IDEAL) PERIODO: 4 FECHA: DESDE: 20/10/ 2021 HASTA: 1. Cuando se calienta el aire contenido en los globos aerostáticos éstos se elevan, porque el gas se expande. Tienen aplicaciones como refrigerantes tanto en la industria como en la biología. La ecuación de gas ideal se elaboró haciendo cálculos basados en las hipótesis de las teóricas cinéticas. La ecuación de la ley de gases ideales puede utilizarse en el cálculo de la densidad de un gas y de su masa molar. Ambas son válidas siempre y cuando se tenga cuidado con las unidades de las otras variables (P, T y V). Los campos obligatorios están marcados con, La Materia – Significado, Concepto y Definición – Sus Estados, Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios, Estructura de Lewis del CO2 (Dióxido de Carbono), Estructura de Lewis del SO3 (Trióxido de Azufre), Estructura de Lewis del HNO3 (Ácido Nitrico). Se produce por las constantes colisiones de las moléculas con la superficie del recipiente, a mayor numero de moléculas, mayor es la fuerza y por lo tanto la presión aumenta. El gas ideal está contemplado como parte del grupo de los gases teóricos por componerse de partículas puntuales que se mueven de modo aleatorio y que no interactúan entre sí. Así como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\), a bajas temperaturas, la relación de\ (PV/nRT\) es menor de lo previsto para un gas ideal, efecto que se hace particularmente evidente para gases complejos y para gases simples a bajas temperaturas. Lo mismo ocurre cuando una temperatura disminuye, ya que el factor de compresibilidad vuelve a aumentar por encima de 1 (PV/nRT > 1)  a medida que la temperatura se acerca a un número menor. La ley del gas ideal permite el estudio y entendimiento de muchos sistemas gaseosos reales. Si la temperatura de un gas disminuye suficientemente, se produce la licuefacción, en la que el gas se condensa en forma líquida. Por ejemplo, el llamado factor de compresión (PV/nRT) tiene un valor de 1 para los gases ideales. Y su utilidad radica, en que los gases … La combinación precisa de temperatura y presión necesaria para licuar un gas depende fuertemente de su masa molar y estructura, con moléculas más pesadas y complejas que suelen licuarse a temperaturas más altas. Se deduce suponiendo que ocurren dos transformaciones: Ley de Dalton – Mezcla de gases: “La presión total de una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones de cada gas ejercería como si estuviera solo ocupando todo el volumen de recipiente a la misma temperatura”. Si se reduce la presión sobre un globo, éste se expande, es decir aumenta su volumen, siendo ésta la … Los hechos que se desarrollaron en Brasilia fueron impactantes y aterradores, … Para comprender un poco mejor te invito a tratar de resolver los ejercicios de la ley de boyle. La ley de Boyle, que resume estas observaciones, establece que: el volumen de una determinada cantidad de gas, que se mantiene a temperatura constante, es inversamente proporcional a la presión que ejerce, lo que se resume en la siguiente expresión: P.V = constante                        o                                P = 1 / V. y se pueden representar gráficamente como: Para que para que se cumpla la Ley de Boyle es importante que permanezcan constantes el número de moles del gas, n, y la temperatura de trabajo, T. Los experimentos demostraron que a condiciones TPE, 1 mol de una sustancia gaseosa cualquiera, ocupa un volumen de 22,4 L. Los gases tienen un comportamiento ideal cuando se encuentran a bajas presiones y temperaturas moderadas, en las cuales se mueven lo suficientemente alejadas unas de otras, de modo que se puede considerar que sus moléculas no interactúan entre si (no hay acción de las fuerzas intermoleculares). Sabemos que el movimiento molecular de los gases es aleatorio. ¿Cuál es su masa molar? Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Los gases licuados tienen muchas aplicaciones comerciales, incluyendo el transporte de grandes cantidades de gases en pequeños volúmenes y los usos de líquidos criogénicos ultrafríos. Ley de los gases ideales: fórmula y unidades, aplicaciones, ejemplos. Además, la licuefacción de gases es tremendamente importante en el almacenamiento y transporte de combustibles fósiles (Figura\(\PageIndex{5}\)). Pero en realidad como se ve en la imagen (B), sólo esa cantidad de espacio está disponible, porque el resto del volumen es ocupado por las propias moleculas. Web1 Deducir los postulados de la teoría cinética de los gases. Khan Academy es una organización sin fines de lucro, con la … Los gases se comportan de manera no ideal (o real) a temperaturas frías debido al hecho de que a temperaturas frías, las moléculas se mueven lentamente, permitiendo que las fuerzas de … Segunda edición. WebLeyes generales de los Gases OA: Investigar experimentalmente y explicar el comportamiento de gases ideales en situaciones cotidianas, considerando: - factores como presión, volumen y temperatura, - las leyes que los modelan, - la teoría cinético - molecular. Si bien estas suposiciones generalmente son ciertas, existen circunstancias en las que los gases se desvían del comportamiento ideal.if(typeof ez_ad_units != 'undefined'){ez_ad_units.push([[728,90],'quimica_organica_com-medrectangle-3','ezslot_1',109,'0','0'])};__ez_fad_position('div-gpt-ad-quimica_organica_com-medrectangle-3-0'); Los gases tienden a comportarse idealmente en dos situaciones diferentes: Los gases se comportan de manera no ideal (o real) a temperaturas frías debido al hecho de que a temperaturas frías, las moléculas se mueven lentamente, permitiendo que las fuerzas de repulsión o de atracción surtan efecto, desviándose del comportamiento de un gas ideal. El constante ritmo de crecimiento del sector de la construcción, con el consiguiente consumo de recursos y la generación de residuos de construcción y demolición, se postula como uno de los grandes desafíos de los Objetivos de Desarrollo Sostenible. Se cumple que al dividir  PV/nRT = 1 . 2-Identificar cuales son las variables que influyen en el comportamiento de los gases ideales. Si están más cerca, las fuerzas intermoleculares serán más importantes. CENGAGE Learning. mejorar las propiedades mecánicas (resistencia) y físicas (térmica y acústica) de forma que repercuta positivamente su utilización en edificación. A presiones relativamente bajas, las moléculas del gas prácticamente no se atraen entre sí porque están (en promedio) muy separadas, y se comportan casi como partículas de un gas ideal. WebA pesar de ello es conveniente y útil definir lo que llamamos un gas ideal que obedece a ciertas leyes fáciles de expresar mediante ecuaciones simples. La corrección por volumen es negativa, pero la corrección por presión es positiva para reflejar el efecto de cada factor en V y P, respectivamente. Así, las moléculas de gas interactúan poco, ocasionalmente chocándose. A bajas presiones, las moléculas gaseosas están relativamente separadas, pero a medida que aumenta la presión del gas, las distancias intermoleculares se hacen cada vez más pequeñas (Figura\(\PageIndex{3}\)). ¿Como se produce esta presión? B Ahora usemos la ecuación de van der Waals con los valores a y b para Cl 2 de Table\(\PageIndex{1}\). Ningún gas real exhibe un comportamiento ideal del gas, aunque muchos gases reales se aproximan a él en un rango de condiciones. Al igual que el helio, una molécula de hidrógeno también tiene dos electrones, por lo que las fuerzas intermoleculares van a ser pequeñas (pero no tan pequeñas como el helio). Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios. Aquí,\(n^2/V^2\) representa la concentración del gas (\(n/V\)) al cuadrado porque se necesitan dos partículas para participar en las interacciones intermoleculares por pares del tipo mostrado en la Figura\(\PageIndex{4}\). Y aumentando la temperatura el gas toma un comportamiento cercano al ideal. El conocer el comportamiento de los gases ideales nos permite conocer el comportamiento del medio o la naturaleza permitiendo utilizar estos procesos a nuestro favor para generar diferentes operaciones, ademas de obtener conocimiento respecto a nuestro mundo.. Los gases ideales son sumamente importante en nuestro medio, sobre … Para la hallar la presión de cada uno de los gases presentes en la mezcla. Universidad Politécnica de Madrid (UPM), en colaboración con la Universidad de Coimbra, han llevado a cabo un estudio con el que han conseguido desarrollar un nuevo material de construcción gracias a la incorporación de residuos de neumáticos fuera de uso. Por el contrario, las fuerzas intermoleculares atractivas producen una presión que es menor a la esperada con base en la ley de gas ideal, por lo que se debe agregar el\(an^2/V^2\) término a la presión medida para corregir estos efectos. WebPara entender mejor el comportamiento de un gas siempre se realizan estudios con respecto al gas ideal aunque este en realidad nunca existe y las propiedades de este son: Un gas está constituido por moléculas de igual tamaño y masa, pero una mezcla de gases diferentes, no. En ese punto el volumen disponible para que las moléculas se muevan es cero. Los cilindros que tienes a mano tienen una presión de ruptura de 40 atm. Colegio San Nicolás - Canal Chacao 2 • Existen tres variables principales que influyen en el comportamiento de un gas: el volumen, la temperatura y la presión. Ley de Boyle – Graficas – Formulas – Ejercicios Resueltos – Ejemplos, Ley de Graham | Efusion y Difusion de Gases, Gases Reales | Desviación Del Comportamiento Ideal, Coloides – Propiedades y Caracteristicas – Estado Coloidal, Afinidad Electrónica y Electronegatividad: Tabla Periódica, Equilibrio Quimico | Reacciones Reversibles e Irreversibles | Graficas, Constante de Equilibrio | Deduccion | Relacion Kp y Kc, Principio de Le Chatelier y Equilibrio Quimico | Ejemplos, existen circunstancias en las que los gases se desvían del comportamiento ideal, calcular su volumen molar será relativamente fácil. La ley se enuncia en la forma siguiente: a temperatura constante, el volumen de una masa fija de un gas es inversamente proporcional a la presión que este ejerce. El problema se resuelve mediante el uso de la ecuación: No aparece la información acerca del número de moles de Hg; pero se pueden obtener mediante el uso de su masa molar: Número moles de Hg = (0,00553 g de Hg) (1 mol Hg/200,59 g). 4. Entonces para calcular el volumen molar, por ejemplo del Helio: Aunque para los cálculos sencillos usamos el valor 22,4 Litros para todos los gases, se puede ver que no es exactamente cierto. Un gas real, en cambio, es aquel con comportamiento termodinámico que no sigue la misma ecuación de estado de los gases ideales. Asimismo, al explotar una granada de humo resulta interesante detallar el movimiento de esas nubecillas de distintos colores. Tratado de química física. Se conoce la presión total del gas más la presión de vapor de agua. INTRODUCCIÓN.En un reactor químico a volumen constante, el producto es un gas. En la molécula de hidrógeno, usted tiene dos átomos sobre los que puede distribuir las cargas. ¿Cuál es el gas? Las cuatro leyes anteriores se pueden combinar para formar la ley de los gases ideales, una sola generalización del comportamiento de los gases conocida como ecuación de estado. Si el gas se encuentra a altas temperaturas la energía cinética promedio de las partículas aumenta. A altas temperaturas, el efecto de las fuerzas intermoleculares es ciertamente insignificante ya que las moléculas escapan de las interacciones. El modelo de gas ideal se usa para predecir el comportamiento de los gases y es uno de los modelos de sustancias más útiles y comúnmente utilizados jamás desarrollados. Al hacerle una modificación simple, se puede hallar una expresión matemática que relacione la densidad (d) de un gas y su masa molar (M): La estequiometria es la rama de la química que relaciona la cantidad de cada uno de los reactivos presentes con los productos que intervienen en una reacción química, generalmente expresados en moles. … Sin … Se descubrió que si confinamos muestras de 1 mol de varios gases en un volumen idéntico y mantenemos los gases a la misma … Ese gas está … Aprende gratuitamente sobre matemáticas, arte, programación, economía, física, química, biología, medicina, finanzas, historia y más. Con él se puede conseguir un ahorro potencial de hasta el 34% de las emisiones de CO2. WebLas leyes de los gases más importantes son: 1. La ley de Boyle, que resume estas observaciones, establece que: La forma que más utilizamos para representar la Ley de Boyle corresponde a la primera gráfica, donde se muestra a un rama de una hipérbola equilátera y podemos usar la siguiente expresión para determinar los valores de dos puntos de la gráfica: Para que para que se cumpla la Ley de Boyle es importante que. Recuperado de: iquimicas.com, Jessie A. 5: Los gases y la teoría cinético-molecular, Mapa: Química - La naturaleza molecular de la materia y el cambio (Silberberg), { "5.01:_Una_visi\u00f3n_general_de_los_estados_f\u00edsicos_de_la_materia" : "property get [Map MindTouch.Deki.Logic.ExtensionProcessorQueryProvider+<>c__DisplayClass228_0.b__1]()", "5.02:_Presi\u00f3n_de_gas_y_su_medici\u00f3n" : "property get [Map MindTouch.Deki.Logic.ExtensionProcessorQueryProvider+<>c__DisplayClass228_0.b__1]()", "5.03:_Las_leyes_del_gas_y_sus_fundamentos_experimentales" : "property get [Map MindTouch.Deki.Logic.ExtensionProcessorQueryProvider+<>c__DisplayClass228_0.b__1]()", "5.04:_Reordenamientos_de_la_Ley_de_Gas_Ideal" : "property get [Map MindTouch.Deki.Logic.ExtensionProcessorQueryProvider+<>c__DisplayClass228_0.b__1]()", "5.05:_La_teor\u00eda_cin\u00e9tico-molecular_-_Un_modelo_para_el_comportamiento_de_los_gases" : "property get [Map 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https://espanol.libretexts.org/@app/auth/3/login?returnto=https%3A%2F%2Fespanol.libretexts.org%2FQuimica%2FQu%25C3%25ADmica_General%2FMapa%253A_Qu%25C3%25ADmica_-_La_naturaleza_molecular_de_la_materia_y_el_cambio_(Silberberg)%2F05%253A_Los_gases_y_la_teor%25C3%25ADa_cin%25C3%25A9tico-molecular%2F5.06%253A_Gases_reales_-_Desviaciones_del_comportamiento_ideal, \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( 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